Le centre des problèmes
Un centre qui grandit avec les élèves
Le centre des problèmes est directement lié à la numération et au calcul, auxquels la résolution de problèmes donne du sens. Il mobilise aussi le langage, la représentation et, surtout, le raisonnement.
Le centre des problèmes est installé sur une table de deux places. Les élèves y travaillent en binôme afin de verbaliser leurs stratégies et de confronter leurs démarches. Comme dans les autres centres de la classe, les postures sont variées : chaise classique ou ballon selon les besoins. Les plastifiches remplacent ici l’ardoise. Elles permettent de glisser facilement des schémas, des trames de calcul ou des supports différenciés sans avoir à tout redessiner.
Le matériel du centre reste globalement le même tout au long de l’année. En revanche, les stratégies mobilisées par les élèves gagnent progressivement en autonomie et en complexité.
Derrière les élèves, une sélection de problèmes de référence est affichée selon le moment de l’année. Ils constituent une mémoire collective de la classe. Les « cartes problèmes », elles, évoluent progressivement au fil des apprentissages, tandis que certains outils de manipulation restent disponibles aussi longtemps que nécessaire.
J’ai un petit meuble « maths » où je trouve tout le matériel dont on peut avoir besoin pour manipuler : jetons, cubes, boite à oeufs, dominos, pièces de monnaie, dés, bandes numériques, barres de dizaines, mains à compter… Tout est immédiatement à portée de main. Manipuler ne nécessite pas l’autorisation de la maitresse : c’est une stratégie de résolution parmi d’autres.
Seules les réglettes Cuisenaire sont déjà installées sur les tables, au moins jusqu’à la fin de la deuxième période où le champ numérique des problèmes est encore limité.
Dans cette page
Pourquoi un centre des problèmes ?
Au même titre que la littérature est la finalité de l’enseignement de la lecture, je considère la résolution de problèmes comme la finalité de l’enseignement des mathématiques. Tout ce qui est fait en numération et en calcul constitue en réalité une immense boite à outils pour résoudre les problèmes de la vie courante — ou davantage ! C’est pourquoi, dès la première semaine du CP, les élèves passent par le centre des problèmes. C’est là qu’une grande partie des apprentissages mathématiques prend son sens.
Un peu comme les travaux dirigés et les cours magistraux à la fac, il faut que l’un réponde à l’autre : ce qui est travaillé en demi-groupe ou en classe entière est pratiqué au centre des problèmes. C’est finalement un centre d’entrainement.
La progression du centre suit la progression annuelle par typologies de problèmes. Mais attention : l’enseignement d’une nouvelle typologie ne « remplace » pas la précédente ; elles se cumulent. Ainsi, je propose par exemple pendant deux semaines la nouvelle typologie seule, puis je réintroduis les typologies précédemment étudiées la troisième semaine. Cela permet d’éviter les effets de contrat didactique : les élèves ne peuvent pas déduire l’opération attendue du seul fait que tous les problèmes proposés relèvent de la notion travaillée à ce moment-là.
Chaque période enrichit la précédente : aucune typologie ne disparait lorsque la suivante arrive.
Période 1
Poser les fondations
- État final après un ajout
- État final après un retrait
- Rechercher le tout
Période 2
Déplacer l'inconnue
- Rechercher l’écart / égaliser
- Rechercher une partie
- Rechercher le tout (3 parties)
Période 3
Élargir le répertoire
- Rechercher la transformation
- Regrouper des parties de même valeur
Période 4
Résoudre à rebours
- Rechercher le nombre de parts et le reste
- Rechercher la valeur d’une part
- Rechercher l’état initial
Période 5
Tout mélanger
- Brasser toutes les typologies
- Choisir une représentation
- Choisir l’opération sans indice
Le champ numérique des problèmes est une variable très importante, mais jamais un objectif d’apprentissage. Je l’utilise pour susciter la modélisation ou le recours à certaines procédures de calcul — le calcul posé plutôt que le calcul mental, par exemple. Certaines typologies accèdent donc rapidement à un grand champ numérique, notamment les problèmes additifs, tandis que d’autres restent longtemps dans un champ réduit, inférieur à 20 ou 30.
J’écarte la calculatrice du centre des problèmes car elle court-circuite le travail sur les liens entre la construction du nombre, le sens des opérations et les stratégies de calcul mental. En revanche, j’autorise les élèves à écrire le calcul sans nécessairement l’effectuer. À ce stade, le plus difficile est fait : le problème est compris et modélisé, et le passage à l’abstraction a permis d’aboutir à un calcul. Si j’encourage très fortement les élèves à aller jusqu’au résultat, je sais aussi adapter mes attentes à leurs progrès.
Je vais pourtant nuancer ce principe : il m’arrive, exceptionnellement, d’autoriser la calculatrice comme outil d’autocorrection. Elle n’intervient alors qu’après la recherche et le calcul, pour permettre à l’élève de vérifier son résultat. Mais tous les élèves ne sont pas encore capables de résister à la tentation de l’utiliser trop tôt ou de se corriger sans comprendre leur erreur. Cet usage reste donc réservé à quelques élèves capables de s’autoréguler.
D'abord, apprendre le geste
Le centre ne sert jamais à découvrir une nouvelle démarche. Le centre des problèmes fonctionne comme une salle de sport : on ne vous met pas deux haltères dans les mains en vous demandant d’enchaîner cent répétitions sans vous avoir d’abord montré le geste. Le coach explique, fait essayer, corrige la posture et adapte la charge. Au centre, c’est pareil : les élèves s’entrainent avec des démarches et des outils déjà construits en atelier dirigé ou en collectif. Et le champ numérique, finalement, c’est un peu le poids posé sur l’haltère : on l’augmente quand le geste est suffisamment solide.
La manipulation
Chaque nouvelle typologie est découverte en atelier dirigé. Je choisis une situation du quotidien, et je laisse les enfants chercher en manipulant. Le niveau d’abstraction peut être quasi nul (par exemple, un problème avec des billes, et je donne des vraies billes) ou très faible. Dans ces cas-là, je donne par exemple des cubes en disant « On dirait chaque cube est une bille. » Cette formulation est la meilleure que j’ai trouvée, parce que c’est celle que les enfants utilisent quand ils jouent et doivent abstraire. « On dirait je suis la maman et toi t’es le bébé. » Sa syntaxe est sûrement imparfaite ; mais rien n’est plus clair que cette tournure.
Pendant cette phase, j’observe très attentivement les procédures utilisées. Certains élèves tâtonnent encore avec le matériel ou peinent à comprendre la situation. D’autres manipulent efficacement et parviennent ainsi à trouver la réponse. D’autres encore n’utilisent pas le matériel : ils ont déjà anticipé la réponse à la fin de l’énoncé et semblent capables de raisonner directement sur les quantités. Ces observations ne définissent pas trois catégories d’élèves : elles rendent compte de leur cheminement face à ce problème précis. Les mêmes élèves pourront adopter une tout autre procédure devant une nouvelle typologie. La chronologie du problème est particulièrement travaillée à cette étape ; c’est souvent elle qui pose problème aux élèves en difficulté face à la manipulation.
Les élèves qui ont encore besoin de manipuler disposent du temps nécessaire pour le faire. Ceux qui raisonnent déjà sans matériel ont besoin de passer à la représentation et à l’explicitation de leur démarche.
La représentation
Quand l’élève est prêt.e, on passe à la représentation. Il suffit d’augmenter un peu le champ numérique, ou de prétexter que « je n’ai plus assez de cubes ». Je propose souvent de dessiner « une croix » à la place du cube (du bonbon). La croix est très efficace, parce qu’elle est déjà bien apprivoisée en maternelle. Bien sûr, on n’échappe pas à l’élève qui dessine les trois bonbons comme Van Gogh… C’est là également que l’usage de la réglette Cuisenaire est utile.
Il y a quelque chose que j’ai appris à force d’enseigner : le passage à la soustraction ne se décrète pas au moment d’écrire le calcul. Il se prépare dès la représentation du problème. Celle-ci doit rester fidèle à la situation rencontrée : on peut effacer ce qui disparait, mettre en correspondance deux collections pour faire apparaitre un écart ou chercher ce qui manque pour compléter une quantité. Dans certaines situations, faire effacer des éléments sur l’ardoise permet aux élèves de percevoir une différence qu’ils ne voyaient pas spontanément. La soustraction émerge alors de la représentation, au lieu d’être plaquée comme une opération à utiliser.
Exemple : Il y a 8 lapins, mais seulement 6 carottes. Combien manque-t-il de carottes ?
Certains enfants vont dessiner 6 carottes et rajouter les 2 manquantes. Ils surcomptent et restent sur l’usage de l’addition « à trou ». Ils vont résister très longtemps à utiliser la soustraction. J’ai déjà entendu des enfants dire « ah oui, si j’ai une addition à trou c’est comme une soustraction », presque comme une formule. Une procédure peut fonctionner aujourd’hui tout en devenant un piège demain, dès le CE1, si l’élève ne construit pas une stratégie plus économique.
Or, c’est précisément au moment de représenter le problème que se construit la notion de différence et, avec elle, le sens de la soustraction. C’est là que j’aiguille les élèves : « Je ne vous autorise à dessiner que les lapins. » Ils en dessinent 8. Et puis… ils bloquent. Jusqu’à ce que l’un dise « On peut effacer les lapins qui ont déjà à manger ? » CQFD.
À la séance suivante, je poursuis la représentation. Parce que certains enfants en ont tout simplement encore besoin ; d’autres doivent vérifier que la représentation permet de remplacer les bonbons par des billes, des noix ou n’importe quoi ; et quelques-uns ne savent peut-être pas encore mobiliser la soustraction en dehors des problèmes classiques de « perte » s’ils n’ont pas vécu la situation des lapins. Je m’assure toujours que les réglettes restent mobilisables, car elles retrouveront les enfants au centre des problèmes.
L'abstraction
À la troisième séance, on a tout : un problème modèle, une représentation avec les réglettes, un calcul… J’augmente alors le champ numérique pour rendre le surcomptage trop couteux et susciter le recours à une procédure de calcul plus économique. Le travail d’abstraction est bien engagé, mais je propose d’autres typologies déjà rencontrées pour m’en assurer. On s’entraine ensemble sur une variété de problèmes. Quand je vois que tout le monde est à l’aise, les élèves peuvent aller au centre. A contrario, je peux rembobiner et revenir à la manipulation ou à une représentation pour vérifier un résultat ou contrôler sa vraisemblance.
Des problèmes pour faire mémoire
Chaque typologie est introduite à l’aide d’un problème qui servira de référence. Par exemple, une histoire de lapins, de bonbons, de cadeaux du Père Noël. Ce n’est pas moi qui choisis, ce sont les enfants. Donc d’une année sur l’autre, la référence changera.
C’est avec cette petite histoire, ce petit scénario que nous travaillons la manipulation et la modélisation. Cela permet de construire une mémoire commune, et de se remémorer en un mot de quelle typologie on parle. Hors de question de dire « c’est un problème à la recherche de l’état initial avant un ajout » ! Par contre, on dit « c’est comme le problème des oiseaux qui se posent sur l’arbre ». Ces problèmes de référence sont ceux qu’on affiche en classe, et près du centre des problèmes. Ce sont aussi ceux qui deviennent nos leçons dans le cahier de mathématiques.
Concrètement, leurs affiches ne sont pas instagramables ! C’est une capture d’un moment vécu en atelier dirigé, très souvent la photographie de ce que nous avons construit au tableau. (D’ailleurs, petit conseil : investir dans des réglettes Cuisenaire magnétiques.) Je m’assure qu’il y ait toujours :
- Le thème du problème identifiable d’un clin d’œil (par exemple le clown et ses balles)
- Les mots-clés de la question du problème
- Une représentation simple, où la transformation est représentée par une flèche
- Une modélisation Cuisenaire, par analogie avec les schémas en barres qui viendront au CE1
- Le calcul en ligne (avec le plus souvent des codes couleur pour chaque valeur numérique)
Les problèmes de référence sont des modèles qui permettent de reconnaitre les structures par analogie. J’y trouve deux grands avantages. D’abord, les élèves ne savent pas lire les énoncés en début d’année. J’utilise donc une symbolique stable au sein d’une même typologie, ce qui les aide à comprendre la situation. Ensuite, certains éléments langagiers reviennent dans les énoncés — « écart », « chacun », « par », « au début »… Ils sont affichés et peuvent servir de points d’appui pour comprendre l’histoire. Ils ne constituent toutefois jamais, à eux seuls, une méthode permettant de choisir une opération : c’est bien la situation dans son ensemble que l’élève doit reconnaitre et modéliser.
Et prudence… Les élèves ont naturellement envie d’utiliser les modèles comme des recettes. Ils risquent alors de faire l’économie de la modélisation en s’appuyant uniquement sur l’affiche. Ces références doivent donc rester des étayages provisoires : elles aident d’abord à reconnaitre et à verbaliser les structures, puis elles disparaissent progressivement lorsque les élèves sont capables de s’en détacher. Il me semble important de :
- Faire évoluer le classement des modèles. Dans un premier temps, je les range selon l’opération mobilisée : les problèmes additifs d’un côté et les problèmes soustractifs de l’autre. Mais très vite, je réorganise les affichages selon ce que l’on recherche : la transformation ou l’écart, ce qu’il y avait au début de l’histoire, ou ce qu’il y a à la fin. Ce classement prend tout son sens lorsque l’inconnue est la transformation : qu’il s’agisse d’un gain ou d’une perte, sa valeur peut être déterminée par une soustraction.
- Faire disparaitre progressivement les modèles. Par exemple, les typologies travaillées depuis le début de l’année peuvent être masquées dès la P4.
- Varier les histoires, les contextes, les énoncés. Utiliser la monnaie comme support est une excellente manière de vérifier que les enfants modélisent.
- J’aime aussi faire trier des problèmes par typologie, sans même chercher à les résoudre. Les élèves sont alors obligés d’expliciter ce qu’ils ont compris de la situation et la manière dont ils la modélisent.
Le centre : s'entrainer à devenir autonome
Dans ce centre, trois supports se répondent. Je les alterne et je varie les modalités d’usage, c’est-à-dire les règles du jeu. Selon la compétence à travailler, je modifie le support ou la règle.
Les cartes problèmes
J’ai cherché pendant longtemps des ateliers problèmes, des ceintures de problèmes, des problèmes audio, etc. Je n’étais jamais totalement satisfaite. En effet, le cahier des charges de mon support est assez conséquent :
- Il faut des situations que l’enfant puisse comprendre même s’il ne sait pas encore lire. Pour cela, j’utilise une symbolique stable identique à celle des affiches et leçons.
- Il faut des situations avec un champ numérique adapté à la progression de calcul. Pour cela, j’utilise une numérotation des problèmes et des codes couleur (rose = champ numérique jusqu’à 20 ; vert = champ numérique supérieur à 20)
- Il faut des cartes autocorrectives. Pour cela, j’utilise un verso qui comprend le calcul et une modélisation (réglettes Cuisenaire, droites graduées, barres de dizaines et d’unités, etc.)
- Il faut que la phrase-réponse ne soit pas exigée systématiquement, notamment en début d’année. Je dissocie volontairement les difficultés : au centre, la priorité reste la compréhension, la modélisation et le calcul. La construction syntaxique de la phrase-réponse est davantage travaillée en français, même si, à terme, elle vient bien sûr achever la résolution du problème.
- En début d’année, il faut que certaines cartes proposent un choix de réponses. Cet étayage permet aux élèves qui maitrisent encore peu l’écriture chiffrée de se concentrer sur la compréhension et la modélisation. Il disparait rapidement : dès que les élèves peuvent produire eux-mêmes leur réponse, les propositions risqueraient davantage de guider leur recherche que de les aider.
J’ai donc créé mes propres supports : environ dix cartes par typologie, et c’est amplement suffisant puisqu’à la fin de l’année, nous brassons près de 120 problèmes ! Les cartes sont recto verso : on plie, on découpe et on plastifie.
Les cartes sont proposées en PDF prêt à imprimer. Je ne partage pas de version modifiable : l’objectif de cette page est aussi de donner les clés pour concevoir ses propres supports et les adapter à sa progression et son niveau de classe.
Clique sur l’image pour télécharger les cartes problèmes
Champ numérique inférieur à 20 :
Ces cartes reprennent volontairement la même histoire de boites d’œufs afin de stabiliser une structure délicate : la taille des groupes est imposée, et l’élève cherche le nombre de boites complètes ainsi que le reste. Les nombres varient d’un problème à l’autre ; les contextes seront diversifiés plus tard, notamment à l’oral.
BONUS : dans la lignée des problèmes à la recherche de l’écart, voici une série pour apprendre à rendre la monnaie.
Quand le champ numérique s’agrandit
Les structures des problèmes restent les mêmes, mais le champ numérique augmente. Les supports évoluent alors avec les procédures de calcul travaillées en classe.
Jusqu’à 100 – sans calcul posé – modélisation dizaine/unité
Jusqu’à 100 – addition posée nécessaire – un ou plusieurs ajouts
Les réglettes Cuisenaire
Elles sont toujours présentes au centre, et sont un outil de choix pour modéliser les problèmes du support précédent. Mais parfois, elles font l’objet à elles seules de l’activité. Je les utilise surtout pour mémoriser les faits numériques, en complément du calcul mental en classe entière.
En tout début d’année, je propose une prise en main, car certains enfants ne les ont pas utilisées en grande section. Le but est de mémoriser les 10 réglettes : leur couleur, leur longueur et les relations entre elles. Nous travaillons donc surtout à partir de leur disposition en escalier.
Très vite, elles servent à composer et décomposer les nombres jusqu’à 10 – ce qu’on appelle « les tapis des nombres » -, et à trouver les doubles et les moitiés. L’association entre valeur et couleur est alors progressivement stabilisée.
Dès la période 1, elles servent à modéliser les problèmes de recherche de l’état final. En période 2, elles deviennent également un outil précieux pour les problèmes d’égalisation. Elles nous accompagnent ensuite jusqu’à la fin de l’année.
Lorsque les problèmes multiplicatifs sont travaillés avec l’addition itérée, j’aime bien réinvestir les réglettes en atelier dirigé. Pour représenter « 3 fois 2 », par exemple, je construis d’abord un petit train composé de trois réglettes rouges placées bout à bout. Puis je défais ce train et j’empile les trois réglettes pour former un petit immeuble rouge de trois étages. La réglette vert clair, qui vaut 3, permet d’en mesurer la hauteur, tandis que chaque étage vaut 2. On visualise ainsi les deux nombres de « 3 fois 2 ». C’est une bonne préparation au travail qui sera poursuivi au CE1.
Match Point
Il s’agit d’un jeu pédagogique développé par le groupe Jeux de l’APMEP — l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public. Je l’ai découvert grâce à ma professeure de mathématiques de l’INSPE, qui était membre de l’association. Le jeu s’appuie sur de petites tuiles éditées, à l’origine, par une maison néerlandaise, dont l’APMEP a remarquablement exploré le potentiel pédagogique.
Chaque tuile carrée est divisée en quatre cases colorées, qui présentent des constellations de 1 à 5 points, un peu comme les dominos. Dans la règle standard, il faut poser les tuiles les unes contre les autres afin que des cases portant la même valeur se touchent et forment les zones les plus vastes possible. On additionne ensuite les points de ces zones, auxquels peuvent s’ajouter certains bonus. Le format en constellations permet déjà d’imaginer des activités très simples dès la petite section, même si celles de la brochure commencent officiellement au cycle 2.
La brochure pédagogique est extrêmement complète et ne coute que quelques euros. Des vidéos et des ressources complémentaires sont également disponibles gratuitement sur l’espace compagnon. Elle comprend de nombreuses fiches d’activités dont les règles peuvent être ajoutées, supprimées ou modifiées selon l’âge des élèves et les objectifs travaillés.
Tu auras compris pourquoi la formule m’a séduite : un même support, une infinité de règles, de la petite section à la terminale. C’est exactement mon mantra. J’ai ajouté quelques règles personnelles, que tu trouveras sur cette page, mais la brochure est déjà si riche qu’il serait inutile de réinventer la roue — ni même le fil à couper le beurre.
Un enseignement qui dépasse le centre
Selon les programmes, la résolution de problèmes doit être pratiquée quotidiennement. Or, même avec un centre dédié et un atelier dirigé par semaine, on est encore loin du compte.
J’ajoute donc une séance ritualisée de résolution de problèmes oraux lors du calcul mental. Les séances sont alors collectives et permettent une confrontation des réponses et des stratégies des élèves, un réinvestissement des typologies déjà étudiées, ou un focus sur une méthode de calcul. Je propose en général deux problèmes oraux par jour.
C’est aussi l’occasion de transférer les structures dans de nouveaux contextes, pour s’émanciper peu à peu des problèmes de référence. Les situations ne manquent pas : une recette de cuisine qu’on fera pour le carnaval, une distribution de cartes, un écart de points…
C’est aussi au cours de ce rituel de calcul mental que j’aborde trois familles de problèmes que je ne traite pas en atelier dirigé et qui peuvent se résoudre sans nécessairement passer par un calcul. Parce que c’est aussi ça, les maths : apprendre à chercher.
- Les problèmes qui mobilisent l’aspect ordinal du nombre. Longtemps sous-estimés, les nouveaux programmes de 2025 leur font la part belle. La notion de file, de rang, d’orientation de la file, le vocabulaire spécifique. Autant d’obstacles qu’il faut lever un par un : nous construisons réellement des files, nous changeons de position et nous comptons les personnes placées devant ou derrière. Les difficultés sont introduites progressivement et décortiquées pas à pas avant d’être réunies dans le support autonome. J’y conserve pour l’instant une orientation stable de la file. Inverser son sens constituerait une variable didactique supplémentaire particulièrement intéressante pour vérifier la compréhension du mot « devant », mais je ne l’ai pas encore introduite : entre l’aspect ordinal, la donnée parfois inutile et l’illustration volontairement non conforme, les obstacles sont déjà nombreux. Ce sera peut-être la prochaine étape… quand j’oserai !
- Les problèmes qui mobilisent les aspects décimal et positionnel de la numération. Par exemple : « Pierre a 2 boites de 10 trombones et 4 trombones seuls. Combien a-t-il de trombones ? » Ce sont des problèmes qui permettent de réinvestir le travail fait en numération.
- Enfin, les problèmes ouverts, qui demandent de tâtonner, de réessayer et de débattre.
Problèmes aspect ordinal
Les risques du métier
Les ateliers du centre
Premiers ateliers disponibles ici
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❶ Imprime en A4 ❷ Découpe et plie ❸ Plastifie ❹ À toi de jouer !
Avec les cartes problèmes :
Avec les réglettes Cuisenaire :
Avec les tuiles du jeu Match Point :
Et les autres centres ?
Le centre des problèmes mobilise aussi des compétences langagières : écouter ou lire un énoncé, comprendre et reformuler une situation, expliquer sa démarche et produire une phrase-réponse. Elles sont travaillées ici au service du raisonnement mathématique, mais aussi, sous d’autres formes, dans les autres centres. Tous reposent sur les mêmes principes de conception : des supports simples, des règles du jeu évolutives et des situations d’apprentissage qui grandissent avec les élèves.